[2016년 백석고]

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[1학년 2학기 중간]

집합 [eqn: X=left{-3,```1right}]을 정의역으로 하는 두 함수
[eqn: f(x)=x^2 +ax+b], [eqn: g(x)=-3ax+2b]
가 서로 같을 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 2a-b]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

전체집합 [eqn: U=left{1,```2,```3,```4,```5,```6,```7 right}]의 두 부분집합
[eqn: A=left{1,```3,```7 right}], [eqn: B=left{2,```3,```6 right]
에 대하여 [eqn: A cupC= B cupC]를 만족시키는 [eqn: U]의 부분집합 [eqn: C]의 개수를 구하면? [4.4점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

유리함수 [eqn: y= { 2x+3} over {x-1 }]의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.6점]

⑤

ㄱ. 점근선의 방정식은 [eqn: x=1], [eqn: y=2]이다.

ㄴ. 역함수는 [eqn: y= { x+3} over {x-2 }]이다.

ㄷ. 그래프는 직선 [eqn: y=-x+3]에 대하여 대칭이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f]가
[eqn: f(x)= {cases{{x+2} over {x-1}&```(x GEQ 2)#sqrt {-x+2} +4&```(x<2)}}]
일 때, [eqn: f ^{-1} (2)-f ^{-1} (6)]의 값은? (단, [eqn: f ^{-1}]는 [eqn: f]의 역함수이다.) [4.6점]

①

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

전체집합 [eqn: U]의 공집합이 아닌 세 부분집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에 대하여 항상 성립하는 것은? [4.8점]

⑤

① [eqn: A cup(A ^c capB)^c =U]

② [eqn: (B-A) cup(A cupB)^c =U]

③ [eqn: (A-B)-C=A-(B-C)]

④ [eqn: (A-B)cup(A-C)=A-(B cupC)]

⑤ [eqn: (A capB)-C=(A-C) cap(B-C)]

두 명제 [eqn: p], [eqn: q]가 다음과 같다.

명제 [eqn: p]는 참이고 명제 [eqn: q]는 거짓일 때, 정수 [eqn: a]의 개수는? [4.8점]

[eqn: p] : [eqn: x ge 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x-a+2>0]

[eqn: q] : 어떤 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: -2-x^2 >a]이다.

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f]가
[eqn: f(x)=|2x+3|+3ax-5]
일 때, [eqn: f(x)]의 역함수가 존재하도록 하는 자연수 [eqn: a]의 최솟값은? [5.0점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x^3 -x!=0]인 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f]가
[eqn: f(x)= { 1+x} over {1-x }]
이고 [eqn: f^1 (x)=f(x)], [eqn: f^n+1 (x)=f(f^n (x))]([eqn: n]은 자연수)이다. [eqn: f^2017]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g left( { 1} over { 3}right)]의 값은? [5.0점]

②

① [eqn: -3]	② [eqn: -{ 1} over {2 }]	③ [eqn: -{ 1} over {3 }]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 3]

두 집합
[eqn: A= left{(x,```y)`|`y= sqrt { 2kx }right}],
[eqn: B= left{(x,```y)`|`y=x+2-k right}]
에 대하여 [eqn: A SMALLINTER B = EMPTYSET]이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는? [5.2점]

②

① [eqn: -{ 2} over { 3}<k< { 2} over {3 }]	② [eqn: 0<k< { 4} over {3 }]

③ [eqn: -{ 4} over {3 }<k<0]	④ [eqn: 2over3 <k<2]

⑤ [eqn: { 4} over {3 }<k<3]

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이지만 충분조건이 아닌 것은? (단, [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]는 실수이고 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]는 집합이다.) [5.4점]

③

① [eqn: p:|x-y|=|x+y|]	[eqn: q:xy=0]

② [eqn: p:B=C]	[eqn: q:A capB=A capC]

③ [eqn: p:A subset(B cupC)]	[eqn: q: A subsetB```또는```A subsetC]

④ [eqn: p:x+y,```y+z,```z+x가```모두 ```유리수]

[eqn: q:x,```y,```z가```모두```유리수]

⑤ [eqn: p:(A-B)cup(B-A)=A]	[eqn: q:B-A=emptyset]

단답형

전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: n(A)=30],
[eqn: n(B^c )=31], [eqn: n(A capB)=20]일 때, [eqn: n(A^c capB^c )]을 구하시오. (단, [eqn: n(X)]는 집합 [eqn: X]의 원소이다.) [5.0점]

[eqn: 21]

[eqn: 1]보다 큰 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f], [eqn: g], [eqn: h]가 각각
[eqn: f(x)= { x+1} over {x-1 }], [eqn: g(x)= sqrt { x+2}] [eqn: (h circ f)(x)=x]
로 정의될 때, [eqn: (f circh)(5)+left((h^-1 circg)^-1 circ g )(7)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: g^-1], [eqn: h^-1]는 각각 [eqn: g], [eqn: h]의 역함수이다.) [5.0점]

[eqn: 7]

자연수 [eqn: k]에 대하여 집합 [eqn: A_k =left{`x`|`x는``` sqrt { k}```이하의```자연수 right]라 정의할 때, [eqn: n(A_k )=n(A_30 )]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. (단, [eqn: n(X)]는 집합 [eqn: X]의 원소의 개수이다.) [6.0점]

[eqn: 60]

실수 전체의 집합 [eqn: R]에서 [eqn: R]로의 함수 [eqn: f]가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=ax+2]와 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [6.0점]

(가) [eqn: -2 le x le 2]에서 [eqn: f(x)= sqrt { 4-x^2}]

(나) [eqn: f(x+4)=f(x)]

[eqn: 1over3]

[eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: y= { 8} over x{ }]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 그래프 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]이라 할 때, [eqn: rmOQPR]의 넓이의 최솟값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [6.0점]

[eqn: 18]

함수 [eqn: f(x)= cases{ { 1} over {3 }x+2 & ```(x ge0)# { 5} over { 3} x+2& ```(x <0)}]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때, [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. [6.0점]

[eqn: 12]

서술형

실수 전체의 집합에서 정의된 함수
[eqn: f(x)= cases{ ax+2& ```(x ge0)# (3-a)x+a& ```(x<0)}]
가 일대일함수가 되기 위한 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하고, 그 풀이과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: 0<a le 2]

함수 [eqn: y= { ax+b} over { x-c}]의 그래프가 아래 그림과 같을 때, 다음 물음에 답하시오. [총 10.0점]

(1) [eqn: a=-1], [eqn: b=4], [eqn: c=2]

(2) [eqn: left{`x`left|`x ge - { 1} over {2 } right}],   [eqn: left{`y`|`y ge0 right]

(3) [eqn: 2+ sqrt { 6}]

(1) 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 각각 구하시오. [3.0점]

(2) 함수 [eqn: f(x)= sqrt { bx+c}]의 정의역과 치역을 각각 구하시오.

[2.0점]

(3) (2)의 함수 [eqn: f(x)= sqrt { bx+c}]의 그래프와 그 역함수

[eqn: f^-1 (x)]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하고, 그 풀이과정을

서술하시오. [5.0점]

[2016년 백석고]

[1학년 2학기 중간]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com